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逻辑斯蒂方程研究及应用-白玉芳
2014-09-02 16:47  

20世纪末,世界人口已经达到60亿以上,到2050年世界人口预计将达到100亿。人口是反映国情、国力基本情况的重要指标,是区域研究所必须考虑的重要因素之一,也是分析现状、制订规划时首先要考虑的基本问题。因此,人口增长问题不仅仅是简单的人口数量问题,对人口的预测是制定和顺利实现社会经济各项战略设想的基础和出发点。

18世纪末英国统计学家马尔萨斯发表了著名的著作《人口原理》,人口的增长问题越来越引起人们的重视。马尔萨斯给出了最早的种群生态学经典数学模型,即闻名于世的马尔萨斯人口模型。在仅考虑出生率和死亡率两个因素情况下,设时刻人口总数为,设时刻人口总数为,马尔萨斯有限增长模型可描述为简单微分方程的解。其中为人口增长比例因子(),方程的解为,它预测人口数量随时间按指数增长。

但是这个模型有很大的局限性,它只考虑了出生率和死亡率,而没有考虑环境因素。实际上,任何物种的生存都不可能处于理想状态(如没有天敌,免于疾病),环境中的空间和资源也并不是无限的,所以人口的增长也不可能是无限的。因此,马尔萨斯的人口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数。

1838年比利时数学生物学家Pierre Francois Verhulst将马尔萨斯模型中关于人口增长率为常数这一假设修改为:种群开始时是呈指数增长的,但数量接近(为环境容纳量,也称为承载能力)时增长率逐渐下降。从而提出了著名的人口增长模型———逻辑斯蒂方程( Logistic Equation):

对此方程可作如下解释:由于资源最多仅能维持个个体,因此每个个体平均所需的资源为总资源的,在时刻个个体共消耗了总资源的,此时剩余,因此逻辑斯蒂方程反映了种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比,说明种群密度对种群规模的增长有抑制作用。当不考虑密度制约因素时,逻辑斯蒂方程就变成了马尔萨斯方程。

逻辑斯蒂方程是可分离变量的常微分方程,其解法如下:

作变换得:

继续变形得:

对上式两边同时积分得:

变形后为:

对该积分求解可得:

从而

,由上式可解得:

时,(即种群初始数量),可得,即,可得逻辑斯蒂方程的解为:

由逻辑斯蒂方程绘制出的曲线称为逻辑斯蒂曲线,该曲线表明:极限值的一半(即)之前,是种群的加速增长时期,该点之后,种群的增长速度会逐渐减小并无限趋近于零。

逻辑斯蒂方程问世以来,它的应用从人口增长模型拓展到很多领域,广泛应用于生物学、医学、经济管理学等方面。以经济学为例,逻辑斯蒂模型在经济预测中被广泛应用,用于描述经济变量随时间变化的规律,比如预测耐用消费品的社会拥有量。社会对产品的需求状况有一个饱和水平,当产品需求量达到一定数量时,消费者对这种产品的需求也趋向饱和,我们可以设这种饱和水平为N。假设在时刻,社会对产品的需求量为,需求的增长速度正比于需求量与需求接近饱和水平的程度的乘积,设比例系数为,其中,且均为常数,,可建立微分方程:,求解即可预测消费品的社会拥有量。

当然,上述逻辑斯蒂方程的建立也是在相对理想的条件下。事实上,事物通常的变化规律受很多因素的影响,因此,要考虑更多因素就应用更复杂的模型来描述,比如微分方程就是考虑了受到外界影响的逻辑斯蒂方程的推广。但逻辑斯蒂方程作为经验方程,在不要求严密解释和推理的前提下,还是有其简便和实用的价值。

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